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全国2011年7月高等教育自学考试线性代数试题

09-29

 

全国2011年7月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
说明:本卷中,AT表示方阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A= ,则|A|=(      )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.设A为3阶方阵,且|A|=4,则|-2A|=(      )
A.-32 B.-8
C.8 D.32
3.设A,B为n阶方阵,且AT=-A,BT=B,则下列命题正确的是(      )
A.(A+B)T=A+B B.ABT=-AB
C.A2是对称矩阵 D.B2+A是对称阵
4.设A,B,X,Y都是n阶方阵,则下面等式正确的是(      )
A.若A2=0,则A=0 B.(AB)2=A2B2
C.若AX=AY,则X=Y D.若A+X=B,则X=B-A
5.设矩阵A= ,则秩(A)=(      )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.若方程组  仅有零解,则k=(      )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
7.实数向量空间V={(x¬¬1,x¬2,x3)|x¬¬1+x3=0}的维数是(      )
A.0 B.1
C.2 D.3
8.若方程组 有无穷多解,则λ=(      )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.设A= ,则下列矩阵中与A相似的是(      )
A.  B.
C.  D.
10.设实二次型f (x1,x2,x3)= ,则f (      )
A.正定 B.不定
C.负定 D.半正定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。
11.四阶行列式中,项a31a22a43a14的符号是____________.
12.设三阶矩阵A=[α¬1,α2,α3],其中αi(i=1,2,3)为A的列向量,且|A|=2,则|[α1+α2,α2,α1+α2-α3]|=________.
13.设A= ,且秩(A)=3,则a,b,c应满足________.
14.矩阵Q= 的逆阵是________.
15.三元齐次方程x1-x2+x3=0的结构解是________.
16.已知A相似于A= ,则|A-E|=________.
17.矩阵A= 的特征值是________.
18.与矩阵A= 相似的对角矩阵是________.
19.设A相似于 = ,则A4________.
20.二次型f (x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是____________.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算4阶行列式D= .
22.设A= ,B= ,求4A2-B2-2BA+2AB.
23.计算向量组 的秩,并求出该向量组的一个最大无关组,同时将其余的向量表示成该最大无关组的线性组合.
24.非齐次方程组
a为何值时,有无穷解,并求其结构解.
25.已知l,l,-l是三阶实对称矩阵A的三个特征值,向量, 1=(1,1,1)T, 2=(2,2,1)T是A的对应于 的特征向量,求A的属于 的特征向量.
26.求正交变换Y=PX,化二次型f (x¬1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.
四、证明题(本大题共l小题,6分)
27.设 是可逆阵A的特征值,证 是A-1的特征值.

 

 
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