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全国2011年1月高等教育自学考试线性代数试题

09-29

 

全国2011年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码:02198
说明:本卷中,AT表示矩阵A转置,det(A)表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,( , )表示向量 , 的内积,E表示单位矩阵.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A是4阶方阵,且det(A)=4,则det(4A)=(      )
A.44 B.45
C.46 D.47
2.已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=(      )
A.A+E B.A-E
C.-A-E D.-A+E
3.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=(      )
A.A-1CB-1 B.CA-1B-1
C.B-1A-1C D.CB-1A-1
4.设A是s×n 矩阵(s≠n),则以下关于矩阵A的叙述正确的是(      )
A.ATA是s×s对称矩阵 B.ATA=AAT
C.(ATA)T =AAT D.AAT是s×s对称矩阵
5.设 1, 2, 3, 4, 5是四维向量,则(      )
A. l, 2, 3, 4, 5一定线性无关
B. l, 2, 3, 4, 5一定线性相关
C. 5一定可以由 1, 2, 3, 4线性表出
D. 1一定可以由 2, 3, 4, 5线性表出
6.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量X均满足AX=0,则(      )
A.A=0 B.A=E
C.秩(A)=n D.0<秩(A)<n
7.设矩阵A与B相似,则以下结论不正确的是(      )
A.秩(A)=秩(B) B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值 D.A与B的特征向量一定相同
8.设 , , 为矩阵A= 的三个特征值,则   =(      )
A.10 B.20
C.24 D.30
9.二次型f(x1,x2,x3)= 的秩为(      )
A.1 B.2
C.3 D.4
10.设A,B是正定矩阵,则(      )
A.AB一定是正定矩阵 B.A+B一定是正定矩阵
C.(AB)T一定是正定矩阵 D.A-B一定是负定矩阵
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。
11.设A= ,k为正整数,则Ak=¬¬           .
12.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1= ,则矩阵A=__________.
13.设同阶方阵A,B的行列式分别为-3,5,则det(AB)=_________.
14.设向量 =(6, -2, 0, 4),  =(-3,1,5,7),向量 满足2 + =3 ,
则 =____________.
15.实数向量空间V={(x1, x2, …, xn)|3 x1+ x2+…+ xn =0}的维数是_______.
16.矩阵A= 的秩=___________.
17.设 是齐次线性方程组Ax=0的两个解,则A(3 )=_________.
18.设方阵A有一个特征值为0,则det(A3)=__________.
19.设P为正交矩阵,若(Px, Py)=8, 则(x, y)=_________.
20.设f(x1,x2,x3)= 是正定二次型,则t满足_____.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
21.计算行列式
22.判断矩阵A= 是否可逆,若可逆,求其逆矩阵.
23.求向量组 =(1,2,-1,-2), =(2,5,-6,-5), =(3,1,1,1),  =(-1,2,-7,-3)的一个最大线性无关组,并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来.
24.求齐次线性方程组 的一个基础解系及其结构解.
25.求矩阵A= 的特征值和特征向量.
26.写出下列二次型的矩阵,并判断其是否是正定二次型.
f(x1,x2,x3)=
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.设方阵A满足(A+E)2=E,且B与A相似,证明:B2+2B=0.

 

 
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